7. Kapitel des 2. Teils

Capitum septimum, in quo agitur de mediae rei inventione et proportione proportionum rationalis et irrationalis

Ad habendam aliqualem notitiam de proportione proportionis rationalis et irrationalis et duarum irrationalium sit:

Prima suppositio: omnis numerus habet numerum ad se duplum, triplum, quadruplum et sic in infinitum ascendendo per species proportionis multiplicis. Ista suppositio patet ex se, quam dato uno numero ex duabus unitatibus adaequate composito dabitur unus alter compositus ex quatuor, et ille erit duplus, et alter ex sex, et erit triplus, et alter ex octo, et erit quadrupus, et sic sine termino.

Secunda suppositio: omnis numerus rerum divisibilium sive quantitas habet cuiuscumque | denominationis aliquam partem aliquotam cum fractione vel sine fractione. Volo dicere, quod signato quocumque numero rerum divisibilium talis numerus habet medietatem, tertiam, quartam, quintam, sextam, septimam et sic in infinitum. Probatur, quia capto numero duodenario ille habet medietatem, puta numerum senarium, habet numerum quaternarium pro tertia, ternarium pro quarta, pro quinta vero habet numerum cum fractione, ad quam fractionem inveniendam oportet duodecim per quinque dividere, et exibit binarius cum duabus quintis iuxta doctrinam superius positam octavo capite primae partis. Et sic operandum est in cuiusvis alterius partis aliquotae inventione.

Tertia suppositio: supra quemcumque numerum rerum divisibilium contingit dare numerum continentem ipsum et medietatem et alium continentem ipsum et unam tertiam et duas tertias aut tres quartas et sic de q[u]ibuscumque aliis partibus aliquotis. Patet, quam ad dandum numerum continentem ipsum et medietatem sufficit addere illi medietatem sui, et ad dandum numerum continentem ipsum et duas tertias sufficit ei addere illas duas tertias, ut patet ex se aspicienti in numeris. Quomodo autem tales partes inveniantur praecedens suppositio declarat.

Quarta suppositio: quodlibet continuum est duplum ad suam medietatem, triplum ad tertiam, quadruplum ad quartam, sesquialterum ad duas tertias et sic de qualibet alia specie proportionis. Patet haec suppositio ex definitionibus terminorum.

Quinta suppositio: omnis proportio habet medietatem, tertiam, quartam et sic in infinitum. Probatur haec suppositio, quia omnis quantitas continua, et quodlibet continuo successive diminuibile est huiusmodi, et omnis proportio est quantitas continua aut continuo partibiliter diminuibilis, (et distribuat ly „omnis“ pro generibus singulorum more mathemathicorum), igitur propositum.

Sexta suppositio: si aliquae duae quantitates continu[o] se habeant in aliqua proportione rationali vel irrationali, dabilis est una tertia qualibet illarum maior, quae se habeat in eadem proportione ad maiorem illarum, ut si 4 et 2 se habeant in aliqua proportione, dabilis est alter numerus, puta 8, qui in eadem proportione se habeat ad 4, et si diameter A se habeat in aliqua proportione ad costam B, dabilis est una alia quantitas, puta C, quae se habet in eadem proportione ad B. Patet haec suppositio ex se.

His positis sit prima conclusio: quaelibet proportio rationalis in qualibet proportione multiplici ab aliqua rationali exceditur. Hoc est, qua[e]libet proportio rationalis habet proportionem duplam, triplam, quadruplam et sic in infinitum rationales. Probatur haec conclusio, quia si illa proportio fuerit multiplex, manifestum est, quod ad numerum eius maiorem dabitur aliquis numerus se habens in eadem proportione, ad illum sicut ille partes habet ad minorem, ut patet ex prima suppositione, et tunc illius ad minimum erit proportio dupla ad proportionem medii ad minimum, quam illa componitur ex duabus aequalibus illi, et si addatur quartus numerus se habens in eadem proportione ad tertium, in qua tertius se habet ad secundum, sicut potest fieri ex prima suppositione, iam proportio illius ad minimum erit tripla ad proportionem secundi ad minimum, et cum possint sic addi infiniti termini continuo proportionabiles illa proportione multiplici, ut patet ex prima suppositione, sequitur, quod ad illam proportionem dabitur proportio dupla, tripla, quadrupla, et sic in infinitum. Patet consequentia ex octava conclusione praecedentis capitis. Si vero illa sit superparticularis ad maximum extremum eius, addetur

aliquis numer[u]s cum fractione vel sine habens se in eadem proportione ad illud maius extremum, ut patet ex tertia suppositione, et tunc illius numeri ad minimum numerum erit proportio dupla ad illam superparticularem, quia ibi erunt tres termini continuo proportionabiles et cetera. Et isto modo poteris const[r]uere 5 terminos, 6, 7 continuo proportionabiles illa proportione superparticulari data et sic in infinitum, igitur dabitur ad eam quadrupla, quintupla, sextupla rationalis et sic in infinitum. Et eodem modo probabis de quocumque genere proportionum rationalium. Et sic patet conclusio.

Secunda conclusio: quamvis quaelibet proportio rationalis in qualibet proportione multiplici ab aliqua proportione rationali excedatur, ita quod quaelibet proportio rationalis habeat duplam, triplam, quadruplam rationales et sic in infinitum, nihilominus non quaelibet proportio rationalis habet subduplam, subtriplam, subquadruplam rationales et cetera. Prima pars huius conclusionis patet ex priori conclusione, et secunda probatur, quia proportio dupla non habet subduplam rationalem nec subtriplam nec subquadruplam et cetera, ut patet ex doctrina undecimae conclusionis praecedentis capitis, igitur non quaelibet proportio rationalis habet subduplam subtriplam, subquadruplam rationales et cetera. Patet igitur conclusio.

Tertia conclusio: aliqua proportio rationalis est dupla, tripla, quadrupla et sic in infinitum alicui proportioni irrationali. Probatur, quia proportio dupla est huiusmodi, igitur. Antecedens probatur, quia proportio dupla habet medietatem, tertiam, quartam, quintam et cetera, ut patet ex quinta suppositione, et ad medietatem sui est dupla, et ad tertiam tripla et sic in infinitum, ut patet ex quarta suppositione, et nec eius medietas nec eius tertia et sic in infinitum sunt proportiones rationales, ut patet ex probatione praecedentis conclusionis, igitur sunt proportiones irrationales, igitur ipsa proportio dupla est dupla, tripla, quadrupla et sic in infinitum alicui proportioni irrationali. Quod fuit probandum.

Quarta conclusio: quaelibet proportio rationalis est commensurabilis alicui proportioni irrationali. Probatur haec conclusio, quam nulla proportio rationalis habet quamlibet sui partem aliquotam rationalem proportionem, igitur quaelibet est commensurabilis alicui rationali. Patet consequentia supposita constantia, quam quaelibet quamlibet aliquotam habet, (ut ly „quamlibet“ distribuat pro generibus singulorum) et non quamlibet habet rationalem proportionem, igitur aliquam habet, quae est irrationalis proportio, et illi est commensurabilis, ut patet ex quarta suppositione, igitur propropositum. Probatur antecedens, quam inter nullius proportionis terminos inveniuntur tot numeri continuo proportionabiles, quot possunt signari partes aliquotae, igitur aliqua pars aliquota erit proportio irrationalis. Et sic patet conclusio.

Quinta conclusio: non omnis proportio irrationalis est subdupla aut subtripla et sic consequenter ad aliquam irrationalem, immo multae irrationales sunt subduplae aut subtriplae et cetera[e] ad rationales. Probatur haec conclusio facile, quam medietas duplae, quintuple, triplae, octuplae et cetera non est subdupla ad aliquam irrationalem, et tamen est irrationalis, ut satis patet ex decima conclusione cum suo primo correlario praecedentis capitis, igitur conclusio vera.

Sexta conclusio: quaelibet proportio | in qualibet proportione rationali ab aliqua proportione rationali vel irrationali exceditur.

Probatur haec conclusio, quoniam data quacumque proportione ad illam potest dari dupla, tripla, quadrupla et sic consequenter procedendo per omnes species proportionis multiplicis, quoniam possunt dari tres termini continuo proportionabiles tali proportione data, et quatuor, et quinque, et sex et sic consequenter, ut docet sexta suppositio, et etiam data quacunque dabitur una, quae contineat ipsam et medietatem eius, et alia, quae continet ipsam et unam tertiam eius et unam quartam, et sic in infinitum. Item dabitur una, quae continet ipsam et duas tertias eius vel tres quartas, et sic in infinitum secundum omnem speciem proportionis rationalis tam simplicis quam compositae, et quaelibet talis proportio erit rationalis vel irrationalis, ut patet ex primo capite primae partis, igitur quaelibet proportio in qualibet proportione rationali ab aliqua proportione rationali vel irrationali exceditur. Patet igitur conclusio.

Septima conclusio: quaelibet proportio in qualibet proportione rationali aliquam rationalem vel irrationalem excedit. Probatur, quam quaelibet proportio potest dividi in duas aequales rationales vel non rationales, in 3, in 4, in 5, in 6 et sic in infinitum, ut patet ex quinta suppositione, et sui medietatem in proportione dupla excedit et tertiam in tripla et quartam in quadrupla et sic in infinitum, ut patet ex prima suppositione, et duas tertias in sexquialtera et tres quartas in sexquitertia et tres quintas in suprabipartiente tertias et sic in infinitum discurrendo per singulas species proportionum rationalium, igitur quaelibet proportio in qualibet proportione rationali aliquam rationalem vel irrationalem excedit.

Ad generandas autem proportiones irrationales inter terminos proportionis rationalis mediantes sit.

Octava conclusio, quae vocatur conclusio mediae rei inventionis. Si datis duabus rectis lineis proportionabilibus proportione rationali vel irrationali in directum protractis coniunctis atque ligatis describatur semicirculus, et a communi medio sive puncto, in quo uniuntur, elevetur linea directe orthogonaliter ad peripheriam usque semicirculi, talis linea secundum continuam proportionalitatem inter datas lineas mediabit. Huius conclusionis sensus talis est: si velis inter duas lineas proportionabiles proportione dupla aut quacumque alia invenire unam, quae se habeat in eadem proportione ad minorem, in qua se habet maior ad ipsam, coniunge illas duas lineas, et super illas describas semicirculum, et a puncto, in quo iunguntur illae duae lineae, oriatur directe et orthogonaliter una alia linea usque ad circumferentiam circuli, et illa est linea, quae quaeritur, et proportio maioris lineae ad illam mediam est medietas proportionis, quae est inter illam lineam maiorem et minimam sic coniunctas. Exemplum huius conclusionis patet in hac figura.

Ista conclusio, ut dicit Thomas Bra[v]ardinus in sua geometria in capitulo de proportionalitate conclusione quarta, longam et prolixam expetit demonstrationem. Ideo sufficiat ad eam Euclidis auctoritas sexto elementorum propositione decima tertia.

Nona conclusio: ad inveniendam proportionem subduplam duplae aut alicuius alterius constituantur duae lineae se habentes in proportione illa, cuius medietas quaeritur, et inveniatur media linea inter eas per artem praecedentis conclusionis, et tunc maioris lineae ad illam mediam et etiam illius mediae ad minimam erit proportio, quae est media sive medietas talis proportionis. Et si velis invenire subquadruplam proportionem, invenias lineam mediam inter primam et secundam et unam aliam inter secundam et tertiam, et tunc quaelibet illarum intermediarum erit subquadrupla, quia erunt ibi 5 termini continuo proportionabiles, igitur proportio extremi ad extremum est quadrupla ad quamlibet intermediam. Et si vis invenire suboctuplam, postquam invenisti subquadruplam inter quaslibet duas lineas immediate se habentes, eleva unam. Et si vis invenire subsexdecuplam, postquam invenisti suboctuplam inter quaslibet duas, eleva unam artificio praecedentis conclusionis, et sic in infinitum duplicando. Haec conclusio patet ex priori patrocinio octavae conclusionis praecedentis capitis.

Decima conclusio: quamvis facile sit cuilibet proportioni invenire subduplam, subquadruplam, suboctuplam, subsexdecuplam et sic in infinitum ascendendo per numeros pariter pares, difficile tamen est subtriplam, subquintuplam, subsextuplam et sic in infinitum per numeros impares vel impariter pares ascendendo invenire. Prima pars patet ex priori conclusione, et secunda est mihi experimento comperta, quamvis Nicolaus Horen in suo tractatu proportionum capite quarto velit dare modum per artem mediae rei inventionis ad inveniendam proportionem et subduplam et subtriplam et subsesquialteram. ¶ Sed Salvo Meliori i[u]dicio et auctoritate tam circuaspecti viri signanter in mathemathicis scientiis videtur mihi, quod per artem mediae rei inventionis non possunt inveniri quatuor lineae continuo proportionabiliter se habentes. Quod sic ostendo, quia captis duabus lineis se habentibus in proportione dupla ad inveniendam quatuor lineas continuo propprtionabiles oportet inter illas duas invenire alias duas continuo proportionabiles inter se et cum extremis, ut ipsemet fatetur, sed hoc non potest fieri per medii rei inventionem, igitur. Minor probatur, quia vel prima illarum duarum linearum, quae inveni[a]tur inter illas duas, invenitur per illam artem vel non. Si non, habeo propropositum, quod oportet dare aliam artem, si sic, tum manifestum est, quod illa erit medio loco proportionabilis inter lineas se habentes in proportione dupla, et per consequens maioris lineae ad ipsam, et etiam ipsius ad minimum erit proportio, quae est medietas duplae, et tunc quaero de inventione secundae lineae intermediae, quia vel ille invenietur per artem mediae rei inventionis vel non. Si non, habeo propositum. Si sic, quaero, [an] vel illa debe[a]t inveniri per illam artem inter illam mediam lineam et ultimam vel inter primam et illam mediam? Sed neutrum istorum est dice[n]dum, igitur. Probatur minor, quoniam si inveniatur inter mediam et ultimam, iam illae quatuor lineae non erunt continuo proportionabiles, quoniam primae ad secundam erit medietas duplae, et secundae ad tertiam et etiam tertiae ad quartam erit subquadrupla duplae, | quia erit medietas medietatis duplae, ut patet ex nona conclusione huius, si vero inveniatur inter primam et mediam, idem sequitur. ¶ Ex quo sequitur Horen non tradidisse doctrinam ad inveniendam proportionem compositam ex duabus tertiis proportionis duplae, puta subsequialteram ad duplam. Probatur, quia – ut sonant verba eius – videtur innuere illas lineas inveniendas esse per artem mediae rei inventionis, quod stare non potest, ut probatum est. Et si haec non fuit intentio et mens venerabilis magistri, Nicolai Horen detur imbecillitati et parvitati ingenioli mei venia. Eligat igitur unusquisque, quod vult, et me magis studiosum quam malivolum probet.